MATERI MATEMATIKA WAJIB KELAS XI MIPA

Konsep Barisan dan Deret

Barisan dan deret dalam matematika memiliki manfaat yang banyak dalam kehidupan sehari-hari. Ketika kamu ingin menjadi seorang pengusaha misalnya, perkembangan usaha yang konstan dari waktu ke waktu mengikuti baris hitung, lho! Kamu jadi bisa memprediksikan skala keuntungan atau kerugian yang akan kamu hadapi.

Secara umum, barisan adalah sebuah daftar bilangan yang mengurut dari kiri ke kanan. Setiap urutan bilangannya juga memiliki karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan yang ada pada barisan merupakan suku dalam barisan itu sendiri.

Sementara itu, deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Misalnya, terdapat barisan U1, U2, U3, U4, ….. Un, maka deret itu adalah U1 + U2 + U3 + U4 +….. Un. Oh iya, “U” itu artinya suku ya. Kalau Un berarti suku ke-n.

Lalu, apa sih yang dimaksud dengan barisan dan deret aritmetika?

Pengertian Barisan dan Deret Aritmetika

Aritmetika dapat diartikan sebagai ilmu hitung dasar dalam matematika yang mencakup penjumlahan, pengurangan, pembagian, juga perkalian. Kamu harus ingat, nih, penyebutan yang betul adalah ‘aritmetika’, bukan aritmatika!

Kalau kita lihat pada bentuk barisan, jika selisih antara suku ke-1 dengan suku ke-2, dan seterusnya sama, maka dapat disebut barisan aritmetika.

Dengan kata lain, barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama di antara suku-sukunya yang saling berdekatan. Selisih ini bisa kita sebut dengan beda, simbolnya b, ya. Kalau deret aritmetika adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan aritmatika.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 1. Suku pertama barisan aritmetika disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 4. Suku ketiga (U3), yaitu 7, suku keempat (U4), yaitu 10, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda, yaitu 3 pada setiap sukunya.

Rumus Barisan dan Deret Aritmetika beserta Contoh

Sekarang, kita pahami rumusnya. Rumus barisan aritmetika bisa kamu gunakan untuk mencari suku ke-n (Un). Sementara itu, rumus deret aritmetika berguna untuk mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Oke, supaya kamu lebih mudah memahami rumusnya, kita langsung masuk ke contoh soal saja. Misalnya terdapat barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Maka,

Suku pertama = U1 = a = 1

Suku kedua = U2 = 3

Suku kedua = U3 = 5 … dst sampai suku ke-n = Un

Beda atau selisih suku pertama dengan suku kedua, suku kedua dengan suku ketiga, dan seterusnya:

b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2

b = U3 – U2 = 5 – 3 = 2

b = U4 – U3 = 7 – 5 = 2 … dst

Jadi, b = 2.

Kita diminta mencari suku ke-n (Un) dari barisan bilangan tadi. Kalau semisal yang ditanya adalah suku ke-7 (U7), caranya gampang ya, gais. Kamu tinggal tambahkan saja suku ke-6 (U6) dengan nilai beda nya.

b = U7 – U6

U7 = U6 + b

U7 = 11 + 2 = 13

Tapi, bagaimana jika kita diminta untuk mencari suku ke-20, atau suku ke-35, atau suku ke-100? Sangat nggak efektif kalau kita jumlahkan satu per satu tiap suku dengan beda nya, ya. Oleh karena itu, kita membutuhkan rumus barisan aritmetika. 

 

Rumus Mencari Suku ke-n (Un) dan Beda (b)

Sekarang, coba kita cari suku ke-20 menggunakan rumus di atas, ya!

Un = a + (n – 1)b

U20 = 1 + (20 – 1)2

U20 = 1 + (19.2)

U20 = 1 + 38 = 39

Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah 39. Lebih cepat, kan?

 

Rumus Mencari Suku Tengah (Ut)

Oh, iya, pada barisan aritmetika, kita bisa mencari suku tengahnya juga, loh! Wah, apa tuh maksudnya? Sesuai namanya, suku tengah adalah suku yang posisi/letaknya tepat berada di tengah-tengan barisan aritmetika. Tapi, ada syaratnya, nih. Suku tengah ini hanya bisa dicari jika banyak suku-sukunya ganjil. Rumus suku tengah barisan aritmetika adalah sebagai berikut:

Contoh:

Terdapat barisan aritmetika 3, 6, 9, 12, …, 81

1. Tentukan nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut!
2. Tentukan suku ke berapakah yang menjadi suku tengah dari barisan aritmetika tersebut!

 

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 3

b = U2 – U1 = 6 – 3 = 3

Un = 81  

Ditanya: Ut dan t …?

Jawab:

a. Ut

Jadi, nilai suku tengah pada barisan aritmetika di atas adalah 42.

b. t

Jadi, suku ke-14 adalah suku tengah dari barisan aritmetika di atas.

 

Rumus Sisipan Barisan Aritmetika

Kalau tadi kan kasusnya kita mau mencari nilai suku tengah pada suatu barisan aritmetika. Gimana kalau sekarang kasusnya kita ubah! Misalnya, kita akan menyisipkan sejumlah bilangan ke dalam barisan aritmetika yang sudah ada. Pastinya, hal ini akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika baru dong, ya. Contoh:

Kita punya barisan aritmetika sebagai berikut:

1, 9, 17

Barisan tersebut memiliki banyak suku n = 3 dan beda b = 8. Kemudian, kita sisipkan 6 buah bilangan ke dalam barisan aritmetika di atas, sehingga:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Jadi, terbentuklah barisan aritmetika baru dengan banyak suku n’ = 9 dan beda b’ = 2.

Sampai sini paham ya dengan maksud sisipan pada barisan aritmetika